Simplex Metode Lommeregner

Kategori: Algebra og Generelt
- 30. april 2025
| |

Løs lineære programmeringsproblemer ved hjælp af Simplex-metoden. Denne lommeregner hjælper med at optimere en målfunktion underlagt begrænsninger, og finder de optimale værdier for dine beslutningsvariabler.

Problemopsætning

Om Lineær Programmering

Lineær programmering er en matematisk teknik, der bruges til at optimere en lineær målfunktion underlagt lineære ligheds- og ulighedsbegrænsninger. Det har brede anvendelser inden for forskellige områder, herunder økonomi, erhvervsliv, fremstilling og transport.

Nøglekomponenter i et Lineært Programmeringsproblem
  • Beslutningsvariabler: De mængder, du skal bestemme.
  • Målfunktion: En lineær ligning, der skal maksimeres eller minimeres.
  • Begrænsninger: Lineære uligheder eller ligninger, der begrænser værdierne af beslutningsvariablerne.
  • Ikke-negativitetsbetingelser: Beslutningsvariabler kræves typisk at være ikke-negative.
Anvendelser af Lineær Programmering
  • Produktionsplanlægning: Bestemmelse af den optimale produktmix for at maksimere profit.
  • Ressourceallokering: Effektiv allokering af begrænsede ressourcer.
  • Transport og Logistik: Design af optimale forsendelsesruter.
  • Investeringsporteføljeoptimering: Udvælgelse af investeringer for at maksimere afkast eller minimere risiko.
  • Blanding Problemer: Find optimale blandinger af ingredienser eller komponenter.
Trin i Simplex Metoden
  1. Konverter problemet til standardform ved at tilføje slack-variabler.
  2. Dan et initialt simplex tableau.
  3. Tjek om den nuværende løsning er optimal. Hvis ja, stop.
  4. Bestem indgående og udgående variabler.
  5. Udfør elementære rækkeoperationer for at få et nyt tableau.
  6. Gentag trin 3-5 indtil en optimal løsning er fundet.

Hvad er Simplexmetoden?

Simplexmetoden er en matematisk algoritme, der bruges til at løse lineære programmeringsproblemer. Det er en kraftfuld teknik til at optimere en lineær målfunktion underlagt et sæt af lineære uligheder eller lighedsbegrænsninger. Metoden finder den optimale løsning ved at iterere gennem mulige løsninger ved hjørnerne af det mulige område, indtil den bedste værdi for målfunktionen er opnået.

Lineære programmeringsproblemer opstår ofte i virkelige scenarier som ressourceallokering, produktionsplanlægning, transport og finans. Simplexmetoden giver en systematisk tilgang til effektivt at løse disse problemer.

Funktioner i Simplexmetodeberegneren

  • Muliggør, at brugerne kan indtaste en lineær målfunktion (f.eks. 3x_1 + 4x_2).
  • Understøtter uligheds- og lighedsbegrænsninger med muligheder for ≤, = og ≥.
  • Muliggør, at brugerne kan vælge mellem maksimerings- og minimeringsmål.
  • Tilbyder to løsningsmetoder: Big M-metoden og To-fase-metoden.
  • Viser trin-for-trin beregninger, herunder mellemste tabeller og den endelige tabel.
  • Visualiserer det mulige område og den optimale løsning for 2D-problemer.

Sådan bruger du Simplexmetodeberegneren

  1. Indtast målfunktionen i det angivne felt (f.eks. 3x_1 + 4x_2).
  2. Angiv, om problemet er et maksimerings- eller minimeringsproblem ved at markere eller fjerne markeringen i boksen "Maksimer?".
  3. Indtast begrænsninger i form af lineære uligheder eller ligheder. For eksempel:
    • 2x_1 + x_2 ≤ 100
    • x_1 + 2x_2 = 80
    Brug knappen "+ Tilføj begrænsning" for at tilføje yderligere begrænsninger.
  4. Vælg løsningsmetoden (Big M-metoden eller To-fase-metoden) fra dropdown-menuen.
  5. Klik på "Beregn" for at løse problemet. Resultaterne, herunder den optimale løsning, den endelige tabel og visualisering, vil blive vist.
  6. Hvis du ønsker at nulstille felterne og starte forfra, skal du klikke på knappen "Ryd".

Eksempel på brug

Mål: Maksimer \(3x_1 + 4x_2\)

Begrænsninger:

  • \(2x_1 + x_2 ≤ 100\)
  • \(x_1 + 2x_2 ≤ 80\)
  • \(x_1, x_2 ≥ 0\)

Trin:

  • Konverter ulighederne til ligheder ved at tilføje slackvariabler \(s_1\) og \(s_2\).
  • Opsæt den indledende simplex-tabel med koefficienterne for variablerne og begrænsningerne.
  • Løs iterativt tabellen ved at pivotere, indtil den optimale løsning er nået.
  • Den endelige løsning vises sammen med den maksimale værdi af målfunktionen.

Resultat: \(x_1 = 20\), \(x_2 = 30\), og den maksimale værdi er \(180\).

Ofte stillede spørgsmål

  • Hvad er lineær programmering?
    Lineær programmering er en matematisk metode, der bruges til at bestemme det bedst mulige resultat (såsom maksimalt overskud eller minimale omkostninger) i en given matematisk model, hvor forholdene er lineære.
  • Hvad er Big M-metoden og To-fase-metoden?
    Big M-metoden tilføjer kunstige variabler med store straffe (betegnet som \(M\)) for at sikre gennemførlighed, mens To-fase-metoden løser problemet i to faser: først finder en gennemførlig løsning og derefter optimerer målfunktionen.
  • Hvad gør "maksimer" afkrydsningsfeltet?
    At markere dette felt løser problemet som et maksimeringsproblem. Hvis det ikke er markeret, antager beregneren et minimeringsproblem.
  • Kan beregneren håndtere ikke-lineære problemer?
    Nej, beregneren er designet specifikt til lineære programmeringsproblemer, hvor både målfunktionen og begrænsningerne er lineære.
  • Hvad sker der, hvis problemet er ubegribelig?
    Hvis løsningen er ubegribelig, vil beregneren vise en besked, der angiver, at problemet ikke har en endelig optimal løsning.

Fordele ved at bruge Simplexmetodeberegneren

  • Sparer tid ved at automatisere kedelige manuelle beregninger.
  • Tilbyder en trin-for-trin opdeling, hvilket gør det til et værdifuldt læringsværktøj for studerende.
  • Visualiserer mulige områder og løsninger for bedre forståelse.
  • Håndterer komplekse problemer effektivt med flere begrænsninger og variabler.