Invers Afledede Kalkulator

Kategori: Differentialregning
- 30. april 2025
| |

Find den antideriverte (ubestemt integral) af en funktion. Denne lommeregner hjælper dig med at bestemme den oprindelige funktion ud fra dens afledte.

Indtast Funktion

Visningsmuligheder

Om Antiderivater og Integration

En antiderivater (eller ubestemt integral) af en funktion f(x) er en funktion F(x), hvis afledte er f(x). Med andre ord, hvis F'(x) = f(x), så er F(x) en antiderivater af f(x).

Nøgleegenskaber ved Antiderivater
  • Hvis F(x) er en antiderivater af f(x), så er F(x) + C også en antiderivater, hvor C er en hvilken som helst konstant
  • Antiderivaten af en sum er summen af antiderivater: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Konstant multiplikationsregel: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, hvor k er en konstant
  • Potensregel: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, hvor n ≠ -1
  • Integration af e^x: ∫e^x dx = e^x + C
  • Integration af 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Anvendelser af Integration

Antiderivater og integration har mange anvendelser i:

  • At finde areal under kurver og mellem kurver
  • At beregne volumener af tredimensionelle objekter
  • At løse differentialligninger
  • Fysik anvendelser: arbejde, energi og bevægelse
  • Sandsynlighed og statistik
  • Ingeniørarbejde: spændingsanalyse, væskedynamik, osv.

Hvad er en Invers Derivativ?

Den inverse derivativ hjælper med at beregne derivativet af inversen af en given funktion. For en funktion ( f(x) ) bestemmes derivativet af dens inverse, ( f^{-1}(x) ), ved hjælp af formlen:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Denne formel opstår fra forholdet ( f(f^(-1)(x)) = x ). Ved at differentiere begge sider med hensyn til ( x ) får vi:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

Ved at løse for ( (f^(-1)(x))' ) opnår vi:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Dette koncept er særligt nyttigt i calculus til at analysere, hvor hurtigt en invers funktion ændrer sig på et bestemt punkt.

Funktioner i Invers Derivativ Kalkulatoren

  • Detaljerede Trin: Indtast en funktion og en ( x )-værdi for at se en detaljeret trin-for-trin løsning.
  • Eksempel Funktioner: Test kalkulatoren med forudindlæste funktioner som ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ), eller ( f(x) = ln(x) ).
  • Grafisk Visualisering: Kalkulatoren plotter både funktionen og dens inverse derivativ.

Sådan Bruger Du Invers Derivativ Kalkulatoren

  1. Indtast en Funktion: Indtast funktionen ( f(x) ), hvis inverse derivativ du ønsker at beregne. For eksempel: x^2 + 1 eller e^x.
  2. Angiv en ( x )-Værdi: Indtast det punkt, hvor du ønsker at beregne derivativet af den inverse funktion.
  3. Klik Beregn: Se resultatet sammen med en detaljeret forklaring af beregningen.
  4. Udforsk Forudindlæste Eksempler: Brug dropdown-menuen til at prøve eksempel funktioner og se, hvordan kalkulatoren fungerer.

Eksempel Gennemgang

Antag, at du ønsker at beregne den inverse derivativ af ( f(x) = x^2 + 1 ) ved ( x = 2 ):

  1. Derivativet af ( f(x) ) er:

( f'(x) = 2 * x )

  1. Evaluer ( f'(2) ):

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. Ved hjælp af formlen for den inverse derivativ:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Ved ( x = 2 ) er den inverse derivativ:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

Nøglefordele ved at Bruge Denne Kalkulator

  • Hurtigt beregne den inverse derivativ af komplekse funktioner.
  • Visualisere funktionen og dens inverse derivativ på en interaktiv graf.
  • Forstå processen gennem trin-for-trin løsninger.