Divergensberegner

Divergensberegner: Forklaring og Brugervejledning

Den Divergensberegner er et interaktivt værktøj designet til at beregne divergensen af et tredimensionelt vektorfelt. Det giver en intuitiv måde at beregne og visualisere divergensen af et vektorfelt ( \mathbf{F}(x, y, z) ), og tilbyder både den symbolske repræsentation af divergensen og dens evaluering ved specifikke punkter. Derudover genererer værktøjet en grafisk visualisering af vektorfeltet for at hjælpe brugerne med at få dybere indsigt i dets adfærd.

Hvad er Divergens?

Divergens er en skalar størrelse, der måler hastigheden, hvormed et vektorfelt spreder sig eller konvergerer ved et givet punkt. Matematisk er divergensen af et vektorfelt ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) givet ved:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Hvis divergensen er positiv, spreder vektorfeltet sig ud ved det punkt.
• Hvis divergensen er negativ, konvergerer vektorfeltet ind ved det punkt.
• Hvis divergensen er nul, siges feltet at være solenoidal ved det punkt.

Denne beregner giver både symbolsk divergens og en mulighed for at evaluere den numerisk ved specifikke punkter.

Funktioner i Divergensberegneren

• Symbolsk Divergens: Beregner automatisk de partielle afledte af vektorfeltkomponenterne og konstruerer divergensligningen.
• Punktevurdering: Evaluerer divergensen numerisk ved et specifikt punkt ( (x, y, z) ).
• Grafisk Visualisering: Viser en 3D-repræsentation af vektorfeltet ved hjælp af Plotly's interaktive 3D plotting kapabiliteter.
• Dropdown Eksempler: Indlæser hurtigt foruddefinerede eksempler på vektorfelter til udforskning.
• Fejlhåndtering: Sikrer, at ugyldige eller ufuldstændige input håndteres korrekt.

Sådan Bruger Du Divergensberegneren

Følg disse enkle trin for at bruge beregneren effektivt:

1. Indtast Vektorfeltet:
2. Indtast ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), og ( R(x, y, z) ) komponenterne af vektorfeltet i de respektive inputbokse.

3. For eksempel:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Vælg et Eksempel:

5. Brug dropdown-menuen til at indlæse foruddefinerede eksempler på vektorfelter.

6. Angiv et Evalueringspunkt (Valgfrit):

7. Hvis du vil evaluere divergensen ved et specifikt punkt, indtast værdierne for ( x ), ( y ), og ( z ) i de tilsvarende felter.

8. Klik på "Beregn":

9. Beregneren vil:

   • Beregne den symbolske divergens.
   • Evaluere divergensen ved det angivne punkt (hvis angivet).
   • Vise en trin-for-trin opdeling af beregningen.
   • Generere en 3D visualisering af vektorfeltet.

10. Ryd Indtastningerne:

11. Brug "Ryd" knappen til at nulstille beregneren.

Eksempel Gennemgang

Eksempel Vektorfelt:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Indtast komponenterne:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Klik på "Beregn." Beregneren vil:

6. Beregne de partielle afledte:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Kombinere dem for at finde: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Hvis evalueringspunkterne ( (x=1, y=1, z=0) ) er angivet, vil resultatet blive evalueret som: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualiser det 3D vektorfelt, der genereres på grafen.

FAQ

1. Hvilke inputformater understøttes for vektorfeltkomponenter?

Beregneren understøtter funktioner i forhold til ( x ), ( y ), og ( z ). Eksempler inkluderer: - Polynomielle funktioner: ( x^2, y^2 + z ) - Trigonometriske funktioner: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Eksponentielle funktioner: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Hvad sker der, hvis jeg ikke angiver et evalueringspunkt?

Hvis der ikke er angivet et evalueringspunkt, vil beregneren kun vise den symbolske divergensligning.

3. Kan jeg bruge denne beregner til 2D vektorfelter?

Ja, du kan blot lade ( R(x, y, z) ) komponenten være tom eller sætte den til nul.

4. Hvordan genereres visualiseringen af 3D vektorfeltet?

Beregneren bruger Plotly til at skabe en interaktiv 3D vektorfeltgraf. Hver pil repræsenterer retningen og størrelsen af feltet ved et givet punkt.

5. Hvad hvis mit input har en fejl?

Beregneren tjekker for fejl som manglende komponenter eller ugyldige udtryk. En beskrivende fejlmeddelelse vil guide dig til at rette problemet.

Resumé

Den Divergensberegner forenkler processen med at analysere vektorfelter ved at automatisere beregningen af divergens og give en klar visuel repræsentation. Uanset om du er studerende, lærer eller professionel, er dette værktøj perfekt til at få indsigt i adfærden af vektorfelter i 3D-rummet. Begynd at udforske nu for at låse op for det fulde potentiale af denne kraftfulde beregner!